Fast skólahald fyrir börn í Búðakauptúni má rekja aftur til ársins 1900, en fyrir þann tíma fengu þorpsbörnin farkennslu með svipuðum hætti og börn í dreifbýlinu. Grunnskóli Fáskrúðsfjarðar varð til eftir að hrepparnir tveir í Fáskrúðsfirði, Búðahreppur og Fáskrúðsfjarðarhreppur sameinuðust um skólarekstur og byggingu nýs skólahúss fyrir börn og ungmenni í firðinum. Nýja húsið sem var um 1400 m2 að stærð á tveimur hæðum, er staðsett í fjallshlíðinni innarlega í þorpinu á Búðum. Það var tekið í notkun í október 1978. Þá voru um 150 nemendur í skólanum. Í húsinu voru sjö kennslustofur fyrir bóklega kennslu, sérstofur fyrir handmennt, myndlist og smíðar auk sérútbúinnar stofu fyrir náttúrufræðikennslu. Að auki voru smá rými fyrir skólabókasafn og lesver sem ekki hafði verið reiknað með við hönnun skólans. Í húsinu var í sama rými skólaeldhús og mötuneyti fyrir börnin úr dreifbýlinu ásamt rúmgóðu afdrepi fyrir þau til að bíða eftir skólaakstri. Skólaíþróttir voru áfram stundaðar í íþróttasal sem byggður var við gamla skólahúsið árið 1937 en nýtt íþróttahús var tekið í notkun árið 2008. Sundkennsla fer ennþá fram í lauginni sem tekin var í notkun árið 1947.
Með einsetningu grunnskóla árið 1995, kröfum um hádegismat fyrir nemendur í skólanum og síauknum starfsmannafjölda varð ljóst að skólahús grunnskólans var orðið allt of lítið. Um 2003 var farið í ítarlega þarfagreiningu fyrir viðbótarhúsnæði í samvinnu við arkitektinn Orra Árnason. Niðurstaðan var sú að breyta grunnskólanum í eina skólamiðstöð sem hýsti leik- grunn- og tónlistarskóla ásamt skóla- og almenningsbókasafni, hátíðar- og matsal, mötuneyti fyrir alla, skólaeldhúsi, fjarfundarými, stjórnendarými og sameiginlegri kaffistofu fyrir alla starfsmenn. Byggingaframkvæmdir hófust árið 2005. Leikskólinn flutti í sinn hluta árið 2007 og full starfsemi var komin í húsið 2009. Almenn ánægja ríkir um þessa viðbót.
Skólastjórar Barnaskólans á Búðum, seinna Grunnskóla Fáskrúðsfjarðar:
Björn Daníelsson (1908 - 1918)
Eiður Albertsson (1918 - 1952)
Jón Þorberg Eggertsson (1952 - 1955)
Pétur Sumarliðason (1955 - 1957)
Aðalsteinn Hallsson (1957 - 1962)
Jóhann Antíusson (1962 -1963)
Þórólfur Friðgeirsson (1963 - 1975)
Ólafur Bergþórsson (1976 - 1976)
Einar Georg Einarsson (1976 - 1979)
Einar Már Sigurðarson (1979 - 1982)
Páll Ágústsson (1982 - 1986)
Guðmundur Þorsteinsson (1986 - 1997)
Árni Þorsteinsson (1997 - 1998)
Hafsteinn Halldórsson (1998 - 2003)
Þórhildur Helga Þorleifsdóttir (2003 - 2006)
Líneik Anna Sævarsdóttir (2006 - 2013)
Einar Már Sigurðarson (2013 - 2015)
Eygló Aðalsteinsdóttir (2015 - 2022)
Viðar Jónsson (2022 - 2023)
Eydís Ósk Heimisdóttir (2023-2024)